Qu’est-ce qu’un équilibre de Nash strict ?

Qu’est-ce qu’un équilibre de Nash strict ? Une introduction à la théorie des jeux

Qu'est-ce qu'un équilibre de Nash strict ? Une introduction à la théorie des jeux

La théorie des jeux est une branche des mathématiques appliquées qui étudie les interactions stratégiques entre les joueurs. Elle est utilisée dans de nombreux domaines, tels que l’économie, la politique, la biologie, la psychologie et bien d’autres encore. Un des concepts clés de la théorie des jeux est l’équilibre de Nash strict, qui est souvent utilisé pour analyser les résultats de différents types de jeux.

Qu’est-ce qu’un équilibre de Nash strict ?

Qu'est-ce qu'un équilibre de Nash strict ?

Un équilibre de Nash strict est une situation dans laquelle chaque joueur a choisi sa stratégie de manière optimale, compte tenu des choix des autres joueurs. Plus précisément, il s’agit d’un équilibre dans lequel aucun joueur n’a intérêt à changer sa stratégie, étant donné que tout changement entraînerait une diminution de son gain.

En d’autres termes, dans un équilibre de Nash strict, chacun des joueurs a choisi la meilleure stratégie possible, sachant que les autres joueurs ont également choisi la meilleure stratégie possible pour eux-mêmes. Il s’agit donc d’une sorte d’équilibre des forces, dans lequel aucune des parties ne peut améliorer sa position en unilatéralement modifiant sa stratégie.

Comment trouver un équilibre de Nash strict ?

Il existe différentes méthodes pour trouver un équilibre de Nash strict, notamment :

  • L’analyse de dominance
  • La résolution graphique
  • La résolution algébrique
  • Les méthodes numériques

Dans l’analyse de dominance, on examine les stratégies des joueurs et on élimine les stratégies qui sont dominées, c’est-à-dire qui sont toujours inférieures ou égales à une autre stratégie, quel que soit le choix des autres joueurs. On répète cette opération jusqu’à ce qu’il ne reste plus aucune stratégie dominée, ce qui donne un équilibre de Nash strict.

La résolution graphique consiste à représenter les différentes stratégies des joueurs sur un graphique, puis à déterminer les points d’intersection qui correspondent à un équilibre de Nash strict.

La résolution algébrique utilise des équations et des inconnues pour trouver les équilibres de Nash strict.

Les méthodes numériques sont utilisées lorsque le nombre de stratégies et de joueurs est trop élevé pour être résolu de manière analytique.

Exemple d’un équilibre de Nash strict

Exemple d'un équilibre de Nash strict

Prenons l’exemple de deux joueurs, A et B, qui doivent choisir entre deux stratégies, X et Y. Chaque combinaison de choix entraîne un gain différent pour chaque joueur, comme indiqué dans le tableau ci-dessous :

XY
X2,20,3
Y3,01,1

Pour trouver un équilibre de Nash strict, on peut utiliser l’analyse de dominance. On peut voir que la stratégie X domine la stratégie Y pour le joueur A, car il obtient un gain plus élevé quel que soit le choix de B. De même, la stratégie Y domine la stratégie X pour le joueur B.

Ainsi, la seule solution restante est l’équilibre de Nash strict dans lequel A choisit X et B choisit Y. Dans cette situation, aucun joueur n’a intérêt à changer sa stratégie, car tout changement entraînerait une diminution de son gain.

Conclusion

L’équilibre de Nash strict est un concept clé de la théorie des jeux, qui permet de comprendre les résultats de différents types de jeux. Il s’agit d’un équilibre dans lequel chaque joueur a choisi sa stratégie de manière optimale, sachant que les autres joueurs ont également choisi la meilleure stratégie possible pour eux-mêmes. Il existe différentes méthodes pour trouver un équilibre de Nash strict, et l’analyse de dominance en est une des plus courantes. L’exemple présenté montre comment un équilibre de Nash strict peut être trouvé pour un jeu simple à deux joueurs et deux stratégies.

FAQ sur l’équilibre de Nash strict

Quelle est la différence entre un équilibre de Nash et un équilibre de Nash strict ?

Un équilibre de Nash est une situation dans laquelle chaque joueur a choisi sa stratégie de manière optimale, compte tenu des choix des autres joueurs. Un équilibre de Nash strict est un équilibre dans lequel aucun joueur n’a intérêt à changer sa stratégie, étant donné que tout changement entraînerait une diminution de son gain. Tous les équilibres de Nash strict sont donc des équilibres de Nash, mais l’inverse n’est pas vrai.

Est-ce que tous les jeux ont un équilibre de Nash strict ?

Non, tous les jeux n’ont pas nécessairement de solution d’équilibre de Nash, et encore moins de solution d’équilibre de Nash strict. Dans certains cas, les joueurs peuvent être pris dans une situation appelée « trappe à sous-optimalité », dans laquelle aucun choix ne conduit à un résultat optimal pour tous les joueurs.

L’équilibre de Nash strict est-il toujours atteint dans la pratique ?

Non, l’équilibre de Nash strict n’est pas toujours atteint dans la pratique, car les joueurs peuvent avoir des motivations autres que la maximisation de leur gain, comme la coopération, l’altruisme ou la confiance. Dans ces cas-là, les joueurs peuvent être prêts à accepter un résultat moins bon pour eux-mêmes, afin d’obtenir un bénéfice collectif ou de préserver une relation de confiance.